(1).证明：令m=x+y,n=x
则f(x)+f(y)=f(x+y)+2 f(n)+f(m-n)=f(m)+2
即f(m)-f(n)=f(m-n)-2
设X1>X2
则f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-2
∵X1-X2>0,当x>0时,f(x)>2
∴f(X1-X2)>2
即f(X1)>f(X2)
∴f(x)在R上是增函数.
(2).
∴f(2)+f(2)=f(4)-2=f(1+3)-2=f(1)+f(3)+2-2=f(1)+5
∴f(1)+5=2f(2)=2f(1+1)=2[f(1)+f(1)-2]=4f(1)-4
∴f(1)=3
∵f(x)在R上为增函数,且f(a²-2a-2)＜3=f(1)
∴a²-2a-2＜1,即a²-2a-3＜0,即(a-3)(a+1)＜0
∴-1＜a＜3
∵f(x)为增函数
∴f(x)的最大值为f(1)=1
∴只要t^2-2at+1≥1,则f(x)≤t^2-2at+1
①当t＞0时：
at∈[-t,t]
-2at∈[-2t,2t]
t²-2at+1∈[t²-2t+1,t²+2t+1]
∴t²-2t+1≥1,即t(t-2)≥0,即t≤0或者t≥2
又∵t＞0
∴t≥2
②当t=0时：
t^2-2at+1=1≥f(x)
③当t＜0时：
at∈[t,-t]
-2at∈[2t,-2t]
t²-2at+1∈[t²+2t+1,t²-2t+1]
∴t²+2t+1≥1,即t(t+2)≥0,即t≤-2或者t≥0
又∵t＜0
∴t≤-2
综上①②③所述：
t∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)