解题思路:(1)将函数整理为x(x-3)(x+1),令其为0,即可得到f(x)的零点;
(2)由于x=3是f(x)的极值点,得到f′(3)=0,得到a的值,进而得到函数在区间[1,a]上的单调性,得到函数f(x)的[1,a]上的最小值和最大值;
(3)由于f(x)在[1,+∞)上是增函数,则导函数≥0在区间上恒成立,即转化为a≤[3/2](x-[1/x]),亦即a≤([3/2](x-[1/x]))最小值,进而得到a的范围.
(1)f(x)=x3-2x2-3x=x(x-3)(x+1)
则f(x)的零点为0,3,-1.
(2)f′(x)=3x2-2ax-3
∵x=3是f(x)的极值点,得到f′(3)=0,
∴a=4则函数f(x)=x3-4x2-3x
即f′(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3)
∴f(x)在[[1/3],3]递减,[3,+∞)递增
f(1)=-6,f(3)=-18,f(4)=-12
∴最小值为-18,最大值为-6
(3)f′(x)=3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)恒成立.
∵x≥1.∴a≤[3/2](x-[1/x]),
当x≥1时,由于g(x)=[3/2](x-[1/x])是增函数,g(x)min=[3/2](1-1)=0.
∴a≤0.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.
考点点评: 本题考查函数的单调性与最值问题,解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值,把这些值进行比较,得到最大值和最小值.