已知函数f(x)=x3-ax2-3x

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  • 解题思路:(1)将函数整理为x(x-3)(x+1),令其为0,即可得到f(x)的零点;

    (2)由于x=3是f(x)的极值点,得到f′(3)=0,得到a的值,进而得到函数在区间[1,a]上的单调性,得到函数f(x)的[1,a]上的最小值和最大值;

    (3)由于f(x)在[1,+∞)上是增函数,则导函数≥0在区间上恒成立,即转化为a≤[3/2](x-[1/x]),亦即a≤([3/2](x-[1/x]))最小值,进而得到a的范围.

    (1)f(x)=x3-2x2-3x=x(x-3)(x+1)

    则f(x)的零点为0,3,-1.

    (2)f′(x)=3x2-2ax-3

    ∵x=3是f(x)的极值点,得到f′(3)=0,

    ∴a=4则函数f(x)=x3-4x2-3x

    即f′(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3)

    ∴f(x)在[[1/3],3]递减,[3,+∞)递增

    f(1)=-6,f(3)=-18,f(4)=-12

    ∴最小值为-18,最大值为-6

    (3)f′(x)=3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)恒成立.

    ∵x≥1.∴a≤[3/2](x-[1/x]),

    当x≥1时,由于g(x)=[3/2](x-[1/x])是增函数,g(x)min=[3/2](1-1)=0.

    ∴a≤0.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.

    考点点评: 本题考查函数的单调性与最值问题,解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值,把这些值进行比较,得到最大值和最小值.