Question

平行四边形ABCD中,三角形DEC与三角形FBC都是正三角形,求证:三角形AEF也是正三角形

Answer 1

已知△DEC与△FBC都是正三角形

∴CD＝DE＝ED,BC＝CF＝FB,

∠CDE＝∠DCE＝∠CED＝∠BCF＝∠CBF＝∠BFC＝60°

在平行四边形ABCD中,设∠ABC＝θ

则∠ADC＝θ,∠BCD＝180°－θ,AB＝CD,AD＝BC

∴∠ABF＝∠ABC＋∠CBF＝θ＋60°

∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝θ＋60°

∠ECF＝360°－(∠BCD＋∠BCF＋∠DCE)＝360°－(180°－θ＋60°＋60°)＝θ＋60°

即有：

ED＝AB＝EC

∠EDA＝∠ABF＝∠ECF

DA＝BF＝CF

∴△EDA≌△ABF≌△ECF (SAS)

∴EA＝AF＝EF

即△AEF是正三角形