已知,椭圆C过点A(1,32),两个焦点为(-1,0),(1,0).

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  • 解题思路:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程代入已知条件得11+b2+94b2=1,求出b,由此能够求出椭圆方程.(Ⅱ)设直线AE方程为:y=k(x−1)+32,代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+4k(3−2k)x+4(32−k)2−12=0,再点A(1,32)在椭圆上,结合直线的位置关系进行求解.

    (Ⅰ)由题意,c=1,

    可设椭圆方程为[1

    1+b2+

    9

    4b2=1,

    解得b2=3,b2=−

    3/4](舍去)

    所以椭圆方程为

    x2

    4+

    y2

    3=1.

    (Ⅱ)设直线AE方程为:y=k(x−1)+

    3

    2,

    代入

    x2

    4+

    y2

    3=1得(3+4k2)x2+4k(3−2k)x+4(

    3

    2−k)2−12=0

    设E(xE,yE),F(xF,yF),

    因为点A(1,

    3

    2)在椭圆上,

    所以xE=

    4(

    3

    2−k)2−12

    3+4k2,yE=kxE+

    3

    2−k.

    又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,

    在上式中以-K代K,可得xF=

    4(

    3

    2+k)2−12

    3+4k2,yF=−kxF+

    3

    2+k

    所以直线EF的斜率KEF=

    yF−yE

    xF−xE=

    −k(xF+xE)+2k

    xF−xE=

    1

    2

    即直线EF的斜率为定值,其值为[1/2].

    点评:

    本题考点: 椭圆的应用;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题综合考查直线与椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答,避免出错.