解题思路:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程代入已知条件得11+b2+94b2=1,求出b,由此能够求出椭圆方程.(Ⅱ)设直线AE方程为:y=k(x−1)+32,代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+4k(3−2k)x+4(32−k)2−12=0,再点A(1,32)在椭圆上,结合直线的位置关系进行求解.
(Ⅰ)由题意,c=1,
可设椭圆方程为[1
1+b2+
9
4b2=1,
解得b2=3,b2=−
3/4](舍去)
所以椭圆方程为
x2
4+
y2
3=1.
(Ⅱ)设直线AE方程为:y=k(x−1)+
3
2,
代入
x2
4+
y2
3=1得(3+4k2)x2+4k(3−2k)x+4(
3
2−k)2−12=0
设E(xE,yE),F(xF,yF),
因为点A(1,
3
2)在椭圆上,
所以xE=
4(
3
2−k)2−12
3+4k2,yE=kxE+
3
2−k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,
在上式中以-K代K,可得xF=
4(
3
2+k)2−12
3+4k2,yF=−kxF+
3
2+k
所以直线EF的斜率KEF=
yF−yE
xF−xE=
−k(xF+xE)+2k
xF−xE=
1
2
即直线EF的斜率为定值,其值为[1/2].
点评:
本题考点: 椭圆的应用;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.
考点点评: 本题综合考查直线与椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答,避免出错.