Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为[1/2]．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）点（2，0）在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为c=[1/2]，解方程组得到a，b，由此能求出椭圆方程．

（Ⅱ）点P在直线x=-1上，则可得P（-1，y₂），当直线MN的斜率存在时设斜率为k，得到直线MN中点，根据点P的横坐标解得k，由l⊥MN可得直线l的斜率及其含参数y₃的方程，分析得直线是否恒过定点，注意还要讨论直线MN的斜率不存在的情况．

（Ⅰ）∵点（2，0）在椭圆上，

∴[4

a2+

0

b2＝1，解得a²=4，

∵椭圆C的离心率为

1/2]，∴[c/a＝

1

2]，

∴

a2−b2

a2=[1/4]，解得b²=3，

∴椭圆C的方程为

x2

4+

y2

3＝1．

（Ⅱ）证明：设P（-1，y₀），y0∈(−

3

2，

3

2)，

①当直线MN的斜率存在时，

设直线MN的方程为y-y₀=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x2 ，y2），

由

x2

4+

y2

3＝1

y−y0＝k(x−1)，

得：(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4y02+8ky0+4k2−12)＝0，

∴x1+x2＝−

8ky2+8k2

3+4k

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．