Question

在二项式定理这节教材中有这样一个性质：C n 0 +C n 1 +C n 2 +C n 3 +…C n n =2 n ，

Answer 1

（1）设S=1•C ₂ ⁰+2•C ₂ ¹+3•C ₂ ²又S=3•C ₂ ²+2•C ₂ ¹+1•C ₂ ⁰

相加2S=4（C ₂ ⁰+C ₂ ¹+C ₂ ²）=16，S=8

设S=1•C ₄ ⁰+2•C ₄ ¹+3•C ₄ ²+4•C ₄ ³+5•C ₄ ⁴

又S=5•C ₄ ⁴+4•C ₄ ³+3•C ₄ ²+2•C ₄ ¹+1•C ₄ ⁰

相加2S=6（C ₃ ⁰+C ₄ ¹+C ₄ ²+C ₄ ³+C ₄ ⁴），∴S=3•2 ⁴=48

（2）1•C _n ⁰+2•C _n ¹+3•C _n ²+…+（n+1）C _n ⁿ=（n+2）•2 ^n-1

设S=1•C _n ⁰+2•C _n ¹+3•C _n ²+…+（n+1）C _n ⁿ

又S=（n+1）C _n ⁿ+nC _n ^n-1+…+1•C _n ⁰

相加2S=（n+2）（C _n ⁰+C _n ¹+…+C _n ⁿ）∴ S=

n+2

n • 2 n =(n+2)• 2 n-1

（3）当q=1时S _n=na ₁S ₁C _n ⁰+S ₂C _n ¹+…+S _n+1C _n ⁿ
=a ₁C _n ⁰+2a ₁C _n ¹+…+（n+1）a ₁C _n ⁿ
=a ₁（1•C _n ⁰+2•C _n ¹+…+（n+1）C _n ⁿ）

=a ₁•（n+2）•2 ^n-1

当q≠1时 S n =

a 1 (1- q n )

1-q =

a 1

1-q -

a 1

1-q q n

S ₁C _n ⁰+S ₂C _n ¹+S ₃C _n ²+…+S _n+1C _n ⁿ= (

a 1

1-q -

a 1

1-q q)

C 0n +(

a 1

1-q -

a 1

1-q q 2 )

C 1n +…+(

a 1

1-q -

a 1

1-q q n+1 )

C nn

=

a 1

1-q (

C 0n +

C 1n +…+

C nn )-

a 1

1-q (q

C 0n + q 2

C 1n +…+ q n+1

C nn )

=

a 1

1-q • 2 n -

a 1

1-q •q(

C 0n • q 0 +

C 1n • q 1 +…+

C nn q n )

=

a 1

1-q • 2 n -

a 1

1-q •q(1+q ) n =

a 1 • 2 n

1-q -

a 1 q (1+q) n

1-q

综上，q=1时S ₁C _n ⁰+…+S _n+1C _n ⁿ=a ₁（n+2）•2 ^n-1q≠1时 S 1

C 0n +…+ S n+1

C nn =

a 1 • 2 n

1-q -

a 1 q (1+q) n

1-q