Question

若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为（　　）

Answer 1

解题思路：由关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根，可得x≠0，两边除以x²，等价变形为二次方程后，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决．

根据关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根，可得x≠0，

两边同时除以x²，得x²+[1

x2+a（x+

1/x]）+a=0 ①，

设y=x+[1/x]，则|y|=|x|+[1

|x|≥2，①变为 y²-2+ay+a=0有根．

分离变量得a=

2−y2/y+1]=[1/y+1]+1-y，在y≥2，或y≤-2时，函数a=

2−y2

y+1=[1/y+1]+1-y是减函数，

当y=2时，a=-[2/3]；当y=-2时，a=2．

∴a≤-[2/3]，或a≥2，则实数a的取值范围为(−∞，−

2

3]∪[2，+∞)，

故选B．

点评：

本题考点： 函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的性质、二次函数等基本知识，考查了函数与方程思想，属于中档题．