Question

已知抛物线y^2=8x，焦点为F，一直线l与抛物线交于A B两点，且｜AF｜+｜BF｜=8，且AB的垂直平分线恒过定点S

Answer 1

如图，由已知条件

F(2,0),S(6,0)

假设A（x1,根号（8x1)),B(x2,-根号（8x2))

AF = 根号（(x1-2)^2 + 8x1) = x1+2

BF = x2 + 2

AF + BF = x1+x2 + 4

x1+x2 = 4

所以AB 的中点在x = 2上，AB中点T（2，（根号（8x1)-根号（8x2))/2) = T(2,根号（2x1)-根号（2x2))

三角形AST中

AT^2 = (x1-2)^2 + (根号（8x1) - 根号（2x1)+根号（2x2))^2 = (x1-2)^2 + (根号（2x1)+根号（2x2))^2

ST^2 = SF^2 + (根号（2x1)-根号（2x2))^2 = 16 + (根号（2x1)-根号（2x2))^2

ASB 面积 = AT*ST

x2 = 4-x1

代入以上表达式求极值即可