Question

设p为正素数,求证根号p为无理数

Answer 1

用反证法：

假设√p为有理数,则√p可以写成分数形式

令√p=m/n,其中m、n为互质的正整数

则：

p=m^2/n^2

即,

p*n^2=m^2

由上式可知m^2有约数p,即m有约数p

令m=pk,其中k是正整数

则：

p*n^2=m^2=(pk)^2=p^2*k^2

即,

n^2=p*k^2

由上式可知,n^2有约数p,即n有约数p

即m、n有公约数p

这与前面说m、n互质矛盾

所以√p为无理数