Question

（文）已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的反函数的图象经过点A（4，1）和B（16，3）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由题意可得，f（x）经过点（1，4），（3，16），代入可求a，b

（2）由

(

1

2

)

2x

+2^1-x≥|m-1|在x∈（-∞，1]上恒成立⇔[

(

1

2

)

2x

+2^1-x]_min≥|m-1|恒成立，可求m的范围

（Ⅰ）∵f^-1（x）的图象经过点A（4，1）和B（16，3）．

∴f（x）经过点（1，4），（3，16）

∴

ab＝4

ba3＝16

∴a=b=2，f（x）=2^x+1

∵（[1/a]）^2x+b^1-x-|m-1|≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，

∴不等式(

1

2)2x+2^1-x≥|m-1|在x∈（-∞，1]上恒成立，

[(

1

2)2x+2^1-x]_min≥|m-1|恒成立，…（8分）

设t=(

1

2)x，g（t）=t²+2t

∵x≤1

∴t≥

1

2

∴g（t）_min=g（[1/2]）=[5/4]

∴|m-1≤

5

4

∴−

1

4≤m≤

9

4

值范围是[-[1/4，

9

4]]…（12分）

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；反函数．

考点点评： 本题主要考查了互为反函数的图象对称关系的应用，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化关系的应用．