Question

已知函数f（x）=ax-lnx，（a∈R）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，分离参数，求最值，即可求a的取值范围；

（Ⅱ）求出g（x）_min=1，∀x₁∈（0，+∞），总x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，等价于f（x）＞g（x）_min，分离参数，求最值，即可求a的取值范围．

（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，则a＞[lnx/x]（x＞0），

令y=[lnx/x]（x＞0），则y′=[1−lnx

x2，

∴（0，e）上，y′＞0，（e，+∞）上，y′＜0，

∴x=e时，函数取得最大值

1/e]，

∴a＞[1/e]；

（Ⅱ）g（x）=x²+x+[5/4]，∵x∈[-1，0]，∴g（x）_min=1

∀x₁∈（0，+∞），总x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，

等价于f（x）＞g（x）_min，

∵f（x）=ax-lnx，∴ax-lnx＞1，∀x∈（0，+∞）恒成立，

∴a＞[1+lnx/x]，

令h（x）=[1+lnx/x]，则h′（x）=

1−1−lnx

x2

∴0＜x＜1时，h′（x）＞0，x＞1时，h′（x）＜0，

∴x=1时，函数取得最大值1，

∴a＞1．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最大值，正确分离参数，求最值是关键．