Question

若数列{an}的前n项和为Sn=3n2+n2（n∈N*）；

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）通过已知条件，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求解数列{a_n}的通项公式a_n；

（Ⅱ）化简

1

a

n

a

n+1

，利用裂项法求解数列的前n项和为T_n，利用放缩法求出使得M≥T_n对一切正整数都成立的M的最小值即可．

满分（14分）．

（Ⅰ）由题Sn＝

3n2+n

2(n∈N*)，

n≥2时Sn−1＝

3(n−1)2+n−1

2…（2分）

所以an＝Sn−Sn−1＝

3n2+n

2−

3(n−1)2+n−1

2＝3n−1，…（5分）

n=1时a₁=S₁=2也适合上式，…（6分）

所以a_n=3n-1（n∈N^*）…（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=3n-1（n∈N^*）

所以[1

anan+1＝

1

(3n−1)(3n+2)＝

1/3(

1

3n−1−

1

3n+2)…（9分）

Tn＝

1

a1a2+

1

a2a3+

1

a3a4+…+

1

anan+1]

=[1/3[(

1

2−

1

5)+(

1

5−

1

8)+(

1

8−

1

11)+…+(

1

3n−1−

1

3n+2)]…（10分）

=

1

3(

1

2−

1

3n+2)＜

1

6]…（12分）

使得M≥T_n对一切正整数都成立，即M≥

1

6故存在M的最小值[1/6]．…（14分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和．

考点点评： 本小题主要考查函数与数列的综合问题，考查等差数列通项公式，前项和公式，以及裂项求和，及放缩法证明不等式．