Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F，G分别为A 1 B 1 、B 1 C 1

Answer 1

（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD ₁分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0）， E(1，

1

2 ，1) ， F(

1

2 ，1，1) ， G(0，

1

2 ，1) ，

∴

AG =(-1，

1

2 ，1) ，

BF =(-

1

2 ，0，1) ，

∴ cos＜

AG ，

BF ＞=

3

2

3

2 •

5

2 =

2

5

5

故异面直线AG与BF所成角的余弦值为

2

5

5 ．

（2）∵

EF =(-

1

2 ，

1

2 ，0) ，

BF =(-

1

2 ，0，1) ，

而

AG =(-1，

1

2 ，1) ，∴

AG =

EF +

BF ，

故

AG 与平面BEF共面，

又因为AG不在平面BEF内，

∴AG ∥ 平面BEF．

（3）设M（1，1，m），则

DM =(1，1，m)

由

DM •

EF =0，

DM •

BF =0 ，

∴ -

1

2 +m=0⇒m=

1

2 ，

所以M为棱BB ₁的中点时，DM⊥平面BEF．