Question

一道证明函数不等式恒成立题目已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点（1,f(1))的切线方程为y=x-1

Answer 1

(1)f'(1)=a-b

切线y-(a+b+c)=(a-b)(x-1)

已知切线y=x-1

x=1时y=0=f(1)

所以a+b+c=0

a-b=1

b=a-1,c=-(a+b)=-(2a-1)

(2)f(x)=ax+(a-1)/x+1-2a

令F(x)=f(x)-lnx=ax+(a-1)/x+1-2a-lnx

F(1)=0

要使F(x)>=0,在[1,正无穷)上恒成立

需要

F'(x)>=0在[1,正无穷)上恒成立

a-(a-1)/x^2-1/x>=0在(1,正无穷)上恒成立

ax^2-x-(a-1)>=0在(1,正无穷)上恒成立需要开口向上即a>0

由于判别式1+4a(a-1)=（2a-1)^2>=0

当a>0时根x_2=[1+(2a-1)]/2a=1

因此只需要a>0

如果

a为0

则要-x+1>=0

需要x0