Question

已知函数f(x)=x平方＋1且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-cf(x),求是否存在实数c,使得G(x)在

Answer 1

先把 g(x) 的形式具体写出来

g(x) = f[f(x)] = [f(x)]^2 + 1 = (x^2 +1)^2 + 1

= x^4 + 2x^2 + 2

G(x) = g(x)-cf(x)

= x^4 + 2x^2 + 2 - c(x^2 + 1)

= x^4 + (2-c)x^2 + 2-c

配方

G(x) = x^4 + 2*[(2-c)/2] x^2 + [(2-c)/2]^2 - [(2-c)/2]^2 + (2-c)

= [x^2 + (2-c)/2]^2 + ……

这是一个偶函数.关于y轴对称.

G(x)在（ 负无穷,-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数

根据偶函数,则 G(x) 在 [0,1]上是减函数,在 [1 ,正无穷）上是增函数.

为了保证上述两性质,则

(2-c)/2 = -1

(2-c) = -2

c = 4