已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.

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  • 解题思路:(I)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间;

    (II)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值.

    (I)f′(x)=-3x2+6x+9.

    令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,

    所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).

    (II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

    所以f(2)>f(-2).

    因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,

    又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,

    因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.

    故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,

    即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.以及在闭区间上的最值问题等基础知识,同时考查了分析与解决问题的综合能力.