Question

SOS!一道排列组合题求证：1/2!+2/3!+3/4!+.+ n/(n+1)!=1-1/(n+1)!

Answer 1

用数学归纳法

当n=1时,

左边＝1/(1+1)!＝1/2;

右边＝1－1/(1+1)!=1/2=左边；

所以当n=1时等式成立；

假设当n=k(k>0,且k为整数)时该等式成立,即有：

1/2!+2/3!+……＋k/(k+1)!=1-1/(k+1)!;

那么当n=k+1时,

左边＝1/2!+2/3!+……＋k/(k+1)!＋（k+1）/(k+2)!

=1-1/(k+1)!+（k+1）/(k+2)!

=1-1/(k+1)!+（k+1）/((k+1)!*(k+2))

=1－（1－(k+1)/(k+2)）/(k+1)!

=1-1/((k+2)*(k+1))

=1-1/(k+1+1)!

=1-1/（n+1）!=右边

所以当n=k+1时等式成立；

综上所述,可知原等式成立；

证毕