{[2*1d+3*2d+4*3d+……+n(n-1)d]+n(n-1)/2*d*a}/[(n-1)n*d/2]
=[2*1d+3*2d+4*3d+……+n(n-1)d]/[(n-1)n*d/2]
+
n(n-1)/2*d*a/[(n-1)n*d/2]
=2*[2*1+3*2+4*3+……+n(n-1)]/[(n-1)n]+a
下面求2*1+3*2+4*3+……+n(n-1)＝1^2＋1＋2^2+2+...+(n-1)^2+(n-1)
=1^2+2^2+3^2+..+(n-1)^2+1+2+...+n-1
其中：1^2+2^2+3^2+……+（n－1）^2=（n－1）n(2n-1)/6 （需要证明可以发给你）
1＋2＋.＋n-1＝（n-1）n/2
所以2*1+3*2+4*3+……+n(n-1)＝（n－1）n(2n-1)/6 ＋（n-1）n/2
所以
原式＝2*[2*1+3*2+4*3+……+n(n-1)]/[(n-1)n]+a＝2×〔（n－1）n(2n-1)/6 ＋（n-1）n/2〕/[(n-1)n] + a
＝1/3×（2n-1＋3）＋a＝2（n+1）/3＋a
其中：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6