Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（ ，0），右顶点为D（2，0），设点A（1， ），

Answer 1

（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

，

则半短轴b=1，

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为

；

（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x ₀，y ₀），

由x=

，得x ₀=2x-1，

由y=

，得y ₀=2y-

，

由点P在椭圆上，得

，

∴线段PA中点M的轨迹方程是

；

（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，

因此△ABC的面积S _△ABC=1；

当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

，

解得B（

，

），C（-

，-

），

则

，

又点A到直线BC的距离d=

，

∴△ABC的面积S _△ABC=

，

于是S _△ABC=

，

由

≥-1，得S _△ABC≤

，其中，当k=

时，等号成立；

∴S _△ABC的最大值是

。