Question

几何法求轨迹已知圆X^2+Y^2=a^2和定点C（C不为正负a,a大于0） A,B为圆上两个动点且满足角ACB=90°,

Answer 1

设A(p,q),B(s,t)

则向量CA=(p-c,q),CB=(s-c,t)

因为满足角ACB=90°,向量CA*CB=0,即(p-c)*(s-c)+qt=0

ps-c(p+s)+c^2+qt=0----------(*)

又p^2+q^2=a^2,s^2+t^2=a^2

设P(x,y),则2x=p+s,2y=q+t

4x^2=p^2+2ps+s^2,4y^2=q^2+2qt+t^2

两式相加,得

4x^2+4y^2=(p^2+q^2)+2(ps+qt)+(s^2+t^2)=2a^2+2c(p+s)-2c^2=2a^2+2c*2x-2c^2

整理,得

(x-c/2)^2+y^2=(1/2)a^2-(1/4)c^2

即弦AB中点P的轨迹方程(其中|c|小于等于根二倍的a)