Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+m•2n（m是与无关的常数且m≠0）．

Answer 1

解题思路：（1）利用a_n+1=2a_n+m•2ⁿ，两边同除2ⁿ，推出b_n+1，b_n的关系，然后判断数列是否是等差数列．

（2）通过（1）求出数列 a_n，利用数列{a_n}是单调递减数列，通过a_n+1-a_n＜0，求出m的最小值．

（本小题满分13分）

（1）由题意a_n+1=2a_n+m•2ⁿ

等式两边同除2ⁿ⁺¹，得：

an+1

2n+1＝

an

2n+

m

2，

即：bn+1＝bn+

m

2，

而b₁=

a1

21＝

1

2

∴是数列{b_n}是首项为[1/2]，公差为[m/2]的等差数列．

∴bn＝

1

2+(n−1)

m

2＝

mn+1−m

2，

因为bn＝

an

2n，所以a_n=2ⁿb_n，

a_n=2^n-1（mn+1-m）．

（2）由（1）得：a_n=2^n-1（mn+1-m），

a_n+1-a_n=[m（n+1）+1-m]•2ⁿ-（mn+1-m）•2^n-1
=2^n-1（mn+1+m）

∵数列{a_n}是单调递减数列，

∴对任意的正整数n，不等式2^n-1（mn+1+m）＜0恒成立，

即m＜−

1

n+1恒成立⇔m＜(−

1

n+1)min＝−

1

2．

所以m的取值范围是（-∞，-[1/2]）．

点评：

本题考点： 等差关系的确定；函数恒成立问题；数列的函数特性．

考点点评： 本题是中档题，考查数列的判定，数列通项公式的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．