Question

求有理函数的积分：S dx/[(x^2+1)(x^2+x+1)] 请给出必要的步骤

Answer 1

设 f(x)=x^2-x∫f(x)dx [1,2]+2∫f(x)dx [0,1],求f(x)?

∫f(x)dx [1,2]和∫f(x)dx [0,1]是常数,f(x)是2次函数,可用待定系数法.

设：f(x)=ax^2+bx+c

记：g(x)=∫f(x)dx=ax^3/3+bx^2/2+cx+d

则：g(2)=8a/3+4b/2+2c+d；g(1)=a/3+b/2+c+d；g(0)=d；

g(2)-g(1)=7a/3+3b/2+c

g(1)-g(0)=a/3+b/2+c

f(x)=x^2-x∫f(x)dx [1,2]+2∫f(x)dx [0,1]

等价：ax^2+bx+c=x^2-(7a/3+3b/2+c)x+2(a/3+b/2+c)

对比系数得：

a=1

b=-(7a/3+3b/2+c)

c=2(a/3+b/2+c)

解得：a=1,b=-10/9,c=4/9

所以：f(x)=x^2-10x/9+4/9