Question

已知双曲线x^2-y^2/3=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且M,N中点在抛物线y^2=9x,则实数m的值为

Answer 1

MN关于y=x+m对称 那么MN垂直直线y=x+m,MN斜率-1

MN中点P(x0,x0+m)在y=x+m上,又在MN上

设MN直线：y=-x+b

P在MN上x0+m=-x0+b b=2x0+m

x^2-y^2/3=1 y=-x+b

x^2-(1/3)(-x+b)^2=1

(4/3)x^2+2bx+(1/3)b^2-1=0

Mx+Nx=-2b/(4/3)=-3b/2

x0=(1/2)(Mx+Nx)=-3b/4

4x0=-3b b=2x0+m

4x0=-6x0-3m m=(-10/3)x0

x0+m=-7x0/3

P(x0,-7x0/3)在抛物线y^2=4x上

49x0^2 /9=4x0

49x0^2-36x0=0

x0=0,m=0 或 x0=36/49 m=(-10/3) *(36/49)=-120/49