解题思路:(1)本题很容易证明△AEP≌△BPQ,这样可得出∠AEP=∠BPQ,因为∠AEP+∠APE=90°,可得出∠BPQ+∠APE=90°,这即可判断出结论.
(2)可分别用t表示出AP、BQ、BP、CQ的长度,然后用矩形的面积减去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面积即可得出△PEQ的面积为Scm2.
(3)设Q运动的速度为xcm/s,则根据△AEP与△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ,AE=BP,从而可列出方程组,解出即可得出答案.
(1)∵长方形ABCD,
∴∠A=∠B=90°,
∵点E为AD的中点,AD=6cm,
∴AE=3cm,
又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm,BP=3,
∴AE=BP,
在△AEP和△BQP中,
AP=BQ
∠A=∠B
AE=BP,
∴△AEP≌△BPQ,
∴∠AEP=∠BPQ,
又∵∠AEP+∠APE=90°,
故可得出∠BPQ+∠APE=90°,即∠EPQ=90°,
即EP⊥PQ.
(2)连接QE,由题意得:AP=BQ=t,BP=4-t,CQ=6-t,
SPEQ=SABCD-SBPQ-SEDCQ-SAPE
=AD×AB-
1
2AE×AP-
1
2BP×BQ-
1
2(DE+CQ)×CD
=24-
1
2×3t-
1
2t(4-t)-
1
2×4(3+6-t)
=
t2
2-
3
2t+6.
(3)设点Q的运动速度为xcm/s,
①经过y秒后,△AEP≌△BQP,则AP=BP,AE=BQ,
∴
y=4−y
3=xy,
解得:
x=
3
2
y=2,
即点Q的运动速度为
3
2cm/s时能使两三角形全等.
②经过y秒后,△AEP≌△BPQ,则AP=BQ,AE=BP,
∴
y=xy
3=4−y,
解得:
x=1
y=1(舍去).
综上所述,点Q的运动速度为
3
2cm/s时能使两三角形全等.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;解二元一次方程组;矩形的性质.
考点点评: 本题考查全等三角形的判定及性质,涉及了动点的问题使本题的难度加大了,解答此类题目时,要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待,这样就能利用几何知识解答代数问题了.