如图,已知长方形ABCD中,AD=6cm,AB=4cm,点E为AD的中点.若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点

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  • 解题思路:(1)本题很容易证明△AEP≌△BPQ,这样可得出∠AEP=∠BPQ,因为∠AEP+∠APE=90°,可得出∠BPQ+∠APE=90°,这即可判断出结论.

    (2)可分别用t表示出AP、BQ、BP、CQ的长度,然后用矩形的面积减去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面积即可得出△PEQ的面积为Scm2

    (3)设Q运动的速度为xcm/s,则根据△AEP与△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ,AE=BP,从而可列出方程组,解出即可得出答案.

    (1)∵长方形ABCD,

    ∴∠A=∠B=90°,

    ∵点E为AD的中点,AD=6cm,

    ∴AE=3cm,

    又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm,BP=3,

    ∴AE=BP,

    在△AEP和△BQP中,

    AP=BQ

    ∠A=∠B

    AE=BP,

    ∴△AEP≌△BPQ,

    ∴∠AEP=∠BPQ,

    又∵∠AEP+∠APE=90°,

    故可得出∠BPQ+∠APE=90°,即∠EPQ=90°,

    即EP⊥PQ.

    (2)连接QE,由题意得:AP=BQ=t,BP=4-t,CQ=6-t,

    SPEQ=SABCD-SBPQ-SEDCQ-SAPE

    =AD×AB-

    1

    2AE×AP-

    1

    2BP×BQ-

    1

    2(DE+CQ)×CD

    =24-

    1

    2×3t-

    1

    2t(4-t)-

    1

    2×4(3+6-t)

    =

    t2

    2-

    3

    2t+6.

    (3)设点Q的运动速度为xcm/s,

    ①经过y秒后,△AEP≌△BQP,则AP=BP,AE=BQ,

    y=4−y

    3=xy,

    解得:

    x=

    3

    2

    y=2,

    即点Q的运动速度为

    3

    2cm/s时能使两三角形全等.

    ②经过y秒后,△AEP≌△BPQ,则AP=BQ,AE=BP,

    y=xy

    3=4−y,

    解得:

    x=1

    y=1(舍去).

    综上所述,点Q的运动速度为

    3

    2cm/s时能使两三角形全等.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;解二元一次方程组;矩形的性质.

    考点点评: 本题考查全等三角形的判定及性质,涉及了动点的问题使本题的难度加大了,解答此类题目时,要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待,这样就能利用几何知识解答代数问题了.