Question

在椭圆x^2/2+y^2=1上求一点M,使M到左准线的距离MN是M到两焦点F1,F2的距离的等比中项

Answer 1

a=sqrt{2}, b=1, c=sqrt(a^2-b^2)=1, F1(1,0),F2(-1,0),左准线 x=-2.

设M(x0,y0),则 MN=x0-(-2)=x0+2,

MF1=sqrt[(x0-1)^2+y0^2], MF2=sqrt{(x0+1)^2+y0^2}.

等比中项 ==> MN^2=MF1*MF2

==> (x0+2)^2=sqrt{[(x0-1)^2+y0^2][(x0+1)^2+y0^2]} ---(1)

点M在椭圆上, x0^2/2+y0^2=1 ---(2)

联立(1)(2), 解得 x0=-2/3,y0=sqrt{7}/3 或y0=-sqrt{7}/3.

故 M(-2/3,正负sqrt{7}/3).