Question

如图，正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，D是BC的中点，AA 1 =AB=a。 （1）求证：AD⊥B 1 D；

Answer 1

（1）∵ABC-A ₁B ₁C ₁是正三棱柱，

∴ BB ₁⊥平面ABC，

∴BB ₁⊥AD

在正△ABC中，∵D是BC的中点，

∴AD⊥BD

又∵BB ₁∩ BD=B，

∴AD⊥平面BB ₁D

∴AD⊥B ₁D；

（2）如图，连接A ₁B，交AB ₁于E，连接DE，

∵AA ₁=AB，四边形A ₁ABB ₁是正方形，

∴E是A ₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A ₁C

∵DE

平面AB ₁D，A ₁C

平面AB ₁D，

∴A ₁C∥平面AB ₁D；

（3）连接A ₁D，

因为

所以

解得

。