Question

（2012•增城市模拟）已知点A（-1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线BM的斜率与直线AM的斜率的

Answer 1

解题思路：（1）设M（x，y），利用直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1，建立方程，即可求得点M的轨迹C的方程；

（2）F（0，0）是抛物线的焦点，直线l：y=-1是抛物线的准线，取PQ的中点N，过P，Q，N分别作直线l的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，N₁，证明

|N

N

1

|＝

1

2

(|P

P

1

|+|Q

Q

1

|)＝

1

2

|PQ|

即可．

（1）设M（x，y），则kAM＝

y

x+1，kBM＝

y

x−1（2分）

∵直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1

∴

y

x−1−

y

x+1＝1（3分）

∴x2＝2(y+

1

2)(y≠0)（5分）

（2）证明：∵P=1，∴F（0，0）是抛物线的焦点，直线l：y=-1是抛物线的准线，（6分）

取PQ的中点N，过P，Q，N分别作直线l的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，N₁（7分）

则|PF|=|PP₁|，|QF|=|QQ₁|（9分）

∴|PQ|=|PP₁|+|QQ₁|（10分）

∵N为PQ的中点，且NN₁∥PP₁∥QQ₁，|NN1|＝

1

2(|PP1|+|QQ1|)＝

1

2|PQ|（11分）

所以以PQ为直径的圆与直线l：y=-1相切．（12分）

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线与圆的位置关系，正确运用抛物线的定义是关键．