解题思路:(1)由AB为⊙O的直径,得:∠ADB=90°,根据MN是⊙O的切线,可知:∠AMN=90°,根据同弧所对的圆周角相等,可知:∠ADC=∠ABC,从而证得:∠CBN=∠CDB;
(2)连接OD、OC,过点O作OE⊥CD于点E,根据圆周角定理,可求得∠BOC和∠DOB的度数,故可知:∠COD的度数,在等腰△OCD中,可将CD的长求出.
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°,
∵MN切⊙O于点B,
∴∠ABN=∠ABC+∠CBN=90°,
∴∠ADC+∠CDB=∠ABC+∠CBN;
∵∠ADC=∠ABC,
∴∠CBN=∠CDB;
(2)如图,连接OD、OC,过点O作OE⊥CD于点E;
∵CD平分∠ADB,
∴∠ADC=∠BDC,
∴弧AC=弧BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°;
∵DC是∠ADB的平分线,
∴∠BDC=45°;
∴∠BOC=90°;
又∵∠DAB=15°,
∴∠DOB=30°,
∴∠DOC=120°
∵OD=OC,OE⊥CD,
∴∠DOE=60°
∴∠ODE=30°,
∵OD=2,
∴OE=1,DE=
3,
∴CD=2DE=2
3.
点评:
本题考点: 圆周角定理;切线的性质.
考点点评: 本题主要考查圆周角定理及切线的性质.