Question

数列{an}首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an＝2Sn22Sn−1(n≥2)

Answer 1

解题思路：（1）根据等差数列的定义，将条件求

a

n

＝

2

S

n

2

2

S

n

−1

(n≥2)

进行转化即可证明数列

{

1

S

n

}

是等差数列

（2）根据

{

1

S

n

}

是等差数列 即可求数列{a_n}的通项公式．

（1）∵当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝

2

S2n

2Sn−1，

整理得：S_n-1-S_n=2S_n⋅S_n-1，

由题意知S_n≠0，

∴[1

Sn−

1

Sn−1＝2，

即{

1

Sn}是以

1

S1＝

1

a1＝1为首项，公差d=2的等差数列．

（2）∵{

1

Sn}是以

1

S1＝

1

a1＝1为首项，公差d=2的等差数列．

∴

1

Sn＝1+2(n−1)＝2n−1，

∴Sn＝

1/2n−1，n∈N•．，

当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝

1

2n−1−

1

2(n−1)−1＝−

2

(2n−1)(2n−3)]，

当n=1时，a₁=S₁=1不满足a_n，

∴an＝

1，n＝1

−

2

(2n−1)(2n−3)，n≥2．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查等差数列的通项公式和等差数判断，要求熟练掌握等差数列的通项公式，考查学生的计算能力．