解题思路:由已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根,结合韦达定理(一元二次方程根与系数的关系),易得到一个两根之和及两根之积的表达式,结合α为锐角,易求出t的取值范围,再利用同角三角函数关系,可以构造一个关于t的方程,解方程即可求出t的值.
由韦达定理得sinα+cosα=
2t+1
5,cosα•sinα=
t2+t
25(4分)
∵α为锐角
∴sinα>0,cosα>0,
则2t+1>0且t2+t>0
得t>0(8分)
则
(2t+1)2
25−2•
t2+t
25=1
解之得:t=3或t=-4(舍去),
∴t=3(12分)
点评:
本题考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;三角函数中的恒等变换应用.
考点点评: 本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系,及同角三角函数关系,其中利用韦达定理(一元二次方程根与系数的关系),得到sinα+cosα=2t+15,cosα•sinα=t2+t25是解答本题的关键.