解题思路：求出f′（x），利用导数可判断其单调性，通过单调性即可求出其最大最小值；再用定义可判断其奇偶性，从而得出答案．
f′（x）=x+sinx，令g（x）=x+sinx，则g′（x）=1+cosx．
当x∈[-1，1]时，g′（x）＞0，所以f′（x）=g（x）在[-1，1]上单调递增，
所以f′（-1）≤f′（x）≤f′（1），即-1-sin1≤f′（x）≤1+sin1．
又f′（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f′（x），所以f′（x）是奇函数．
故选D．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了应用导数求函数最值问题，奇偶性的判断，难度不大．掌握相关基础知识是解决该题的关键．