∵MP‖AB,MQ‖AC
∴四边形AQMP是平行四边形,
∠A=∠BQM,∠A=∠CPM,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB
∴AQ=PM,AP=QM,∠BQM=∠CPM
∵AB=AC=a
∴∠B=∠C
∴∠C=∠PMC,∠B=∠QMB
∴QB=QM,PC=PM,∠PMC=∠QMB
∴QB=AP,PC=AQ
∴四边形AQMP的周长为
AQ+QM+PM+AP
=AQ+QB+PC+AP
=AB+AC
=2a
（2）当M为底边BC的中点时,四边形AQMP为菱形
∵M为底边BC的中点
∴BM＝CM
由（1）知：∠B＝∠C,∠PMC=∠QMB
∴△BQM≌△CMP
∴PM＝QM
由（1）知：四边形AQMP为平行四边形
∴四边形AQMP为菱形