解题思路:(Ⅰ)f(x)是奇函数,依定义f(-x)=-f(x),即
2
a
−x
+a−4
2
a
−x
+a
=−
2
a
x
+a−4
2
a
x
+a
,变形为(a-2)[2a2x+(a-2)ax+2]=0对任意x恒成立,a=2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
y=1−
4
2•
2
x
+2
=1−
2
2
x
+1
,利用函数性质求出值域.
(Ⅲ)当x∈[1,+∞)时,tf(x)≤2x-2恒成立,得出
t≤
(
2
x
−2)•(
2
x
+1)
2
x
−1
(x≥1)恒成立,只需t小于等于设
u(x)=
(
2
x
−2)•(
2
x
+1)
2
x
−1
=
2
x
−
2
2
x
−1
(x≥1)
的最小值即可.
(Ⅰ)∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
又f(x)=
2ax+a−4
2ax+a
∴
2a−x+a−4
2a−x+a=−
2ax+a−4
2ax+a,
即(a-2)[2a2x+(a-2)ax+2]=0对任意x恒成立,
∴a=2…(4分)
(Ⅱ)∵y=1−
4
2•2x+2=1−
2
2x+1
又∵2x>0,∴2x+1>1
∴0<
2
2x+1<2,−1<1−
2
2x+1<1
∴函数f(x)的值域(-1,1)…(7分)
(Ⅲ)由题意得,当x≥1时,t(1−
2
2x+1)≤2x−2
即t•
2x−1
2x+1≤2x−2恒成立,
∵x≥1,∴2x≥2,
∴t≤
(2x−2)•(2x+1)
2x−1(x≥1)恒成立,…(9分)
设u(x)=
(2x−2)•(2x+1)
2x−1=2x−
2
2x−1(x≥1)
下证u(x)在当x≥1时是增函数.
任取x2>x1≥1,则u(x2)−u(x1)=2x2−
2
2x2−1−2x1+
2
2x1−1=(2x2−2x1)•(1+
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;函数的值域.
考点点评: 本题考查函数的奇偶性,单调性,不等式恒成立含参数的取值范围.考查转化计算、推理论证,参数分离的方法与能力.