Question

函数f（x）=cos2x+sinx+1的最小值为______，最大值为______．

Answer 1

解题思路：将已知解析式化为一个角的三角函数的解析式，把函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，配方后得到关于sinx的二次函数，由x取任意实数，得到sinx∈[-1，1]，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值及最小值．然后还原成为关于t的二次函数求最值．

f（x）=cos2x+sinx+1=1-2sin²x+sinx+1=-2sin²x+sinx+2=-2（sinx-[1/4]）²+[17/8]；

sinx=[1/4]时，f（x）_max=[17/8]；

当sinx=-1时，f（x）_min=-1；

故答案为：-1；[17/8]．

点评：

本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及二次函数在闭区间上的最值，其中利用二倍角的余弦公式把函数解析式化为关于sinx的二次函数是解本题的关键．