Question

已知椭圆C： x 2 a 2 +y 2 =1（a＞1）的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M：x 2 +y 2 +6x

Answer 1

（I）将圆M的一般方程x ²+y ²+6x-2y+7=0化为标准方程（x+3） ²+（y-1） ²=3，则圆M的圆心M（-3，1），半径 r=

3 ．

由 A(0，1)，F(-c，0)(c=

a 2 -1 ) 得直线AF的方程为x-cy+c=0．

由直线AF与圆M相切，得

|-3-c+c|

1+ c 2 =

3 ，

解得 c=

2 或 c=-

2 （舍去）．

当 c=

2 时，a ²=c ²+1=3，

故椭圆C的方程为

x 2

3 + y 2 =1 ．

（II）由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线PQ的方程为 y=kx-

1

2 ．

因为点 (0，-

1

2 ) 在椭圆内，所以对任意k∈R，直线都与椭圆C交于不同的两点．

由

y=kx-

1

2

x 2

3 + y 2 =1 得 (1+3 k 2 ) x 2 -3kx-

9

4 =0 ．

设点P，Q的坐标分别为（x ₁，y ₁），（x ₂，y ₂），则 y 1 =k x 1 -

1

2 ， y 2 =k x 2 -

1

2 ， x 1 + x 2 =

3k

1+3 k 2 ， x 1 x 2 =-

9

4(1+3 k 2 ) ，

所以 |PQ|=

( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 =

(1+ k 2 )[ ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ] =

3

(1+ k 2 )(1+4 k 2 )

1+3 k 2 ．

又因为点A（0，1）到直线 y=kx-

1

2 的距离 d=

3

2

k 2 +1 ，

所以△APQ的面积为 S=

1

2 |PQ|•d=

9

1+4 k 2

4(1+3 k 2 ) ．

设 t=

1

1+3 k 2 ，则0＜t≤1且 k 2 =

1

3t -

1

3 ， S=

9

4 t•

4

3t -

1

3 =

9

4

4t

3 -

t 2

3 =

9

4

-

1

3 (t-2) 2 +

4

3 ．

因为0＜t≤1，所以当t=1时，△APQ的面积S达到最大，

此时

1

1+3 k 2 =1 ，即k=0．

故当△APQ的面积达到最大时，直线的方程为 y=-

1

2 ．