解题思路:依题意,分别过F1(1,1),F2(5,2),向x轴作垂线交x轴为A,B,设M是椭圆和x轴切点,过M做垂线交F1F2于Q,连接F1M,F2M,延长F2F1交x轴为K,易求K(-3,0)且tan∠F2KM=[1/4],利用光学性质可知∠F1MQ=∠QMF,利用△F1MA∽△F2MB,可求得相似比为λ=2,于是得M坐标为([7/3],0),利用椭圆的定义即可求得长轴长.
∵分别过F1(1,1),F2(5,2),向x轴作垂线交x轴为A,B,
设M是椭圆和x轴切点,过M做垂线交F1F2于Q,连接F1M,F2M,延长F2F1交x轴为K,
则K点坐标为K(-3,0)且tan∠F2KM=[1/4](斜率)
由于∠F1MQ=∠QMF2(椭圆的光学性质,入射角等于反射角.)
所以△F1MA∽△F2MB,相似比为λ=2,
∴M坐标为([7/3],0)
故|F2M|=2|F1M|,
∴长轴2a=|F1M|+|F2M|=
(
7
3−1)2+12+
(
7
3−5)2+22=[5/3]+[10/3]=5
故答案为:5.
点评:
本题考点: 椭圆的简单性质.
考点点评: 本题考查椭圆的方程与椭圆性质的综合应用,利用△=0是解决问题的关键,也是思维的难点,考查分析、转化与解决问题的能力,属于中档题.