已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2时取得极值,且图象与直线y=-3x+3切于点P(1,0).

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  • 解题思路:(I)欲求函数的解析式,只需找到关于a,b,c的三个等式即可,因为函数f(x)在x=-2时取得极值,所以当x=-2时,导数等于0,因为函数图象与直线y=-3x+3切于点P(1,0).所以当x=1时,导数等于-3,原函数值等于0,这样就得到关于a,b,c的三个等式,解出a,b,c即可.

    (II)利用导数求函数的单调区间,则当导数大于0时,解得x的范围为函数的增区间,当x小于0时,解得x的范围为函数的减区间,增区间与减区间的分解处为极值点,比较函数的极大值与端点函数值,其中最大的为函数的最大值,比较函数的极小值与端点函数值,最小的为函数的最小值.

    (I)f′(x)=3x2+2ax+b,∵函数f(x)在x=-2时取得极值,∴f′(-2)=0

    即12-4a+b=0①

    ∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P(1,0).∴f′(1)=-3,f(1)=0

    即 3+2a+b=-3②,1+a+b+c=0

    由①②解得a=1,b=-8,c=6

    ∴f(x)=x3+x2-8x+6

    (II)f′(x)=3x2+2x-8,令f′(x)>0,解得,x>[4/3],或x<-2

    令f′(x)<0,解得,-2<x<[4/3],

    ∴函数的增区间为(-∞,-2)和([4/3],+∞)

    函数的减区间为(-2,[4/3])

    ∴当x=-2时,函数有极大值为18,当x=[4/3]时,函数有极小值为-

    14

    27

    又∵f(-3)=12,f(3)=18

    ∴当x=[4/3]时,函数有最小值-

    14

    27,当x=-2或3时,函数有最大值18

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查了导数的应用求函数的单调区间,极值,最值,属于导数的应用.