解题思路:(I)欲求函数的解析式,只需找到关于a,b,c的三个等式即可,因为函数f(x)在x=-2时取得极值,所以当x=-2时,导数等于0,因为函数图象与直线y=-3x+3切于点P(1,0).所以当x=1时,导数等于-3,原函数值等于0,这样就得到关于a,b,c的三个等式,解出a,b,c即可.
(II)利用导数求函数的单调区间,则当导数大于0时,解得x的范围为函数的增区间,当x小于0时,解得x的范围为函数的减区间,增区间与减区间的分解处为极值点,比较函数的极大值与端点函数值,其中最大的为函数的最大值,比较函数的极小值与端点函数值,最小的为函数的最小值.
(I)f′(x)=3x2+2ax+b,∵函数f(x)在x=-2时取得极值,∴f′(-2)=0
即12-4a+b=0①
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P(1,0).∴f′(1)=-3,f(1)=0
即 3+2a+b=-3②,1+a+b+c=0
由①②解得a=1,b=-8,c=6
∴f(x)=x3+x2-8x+6
(II)f′(x)=3x2+2x-8,令f′(x)>0,解得,x>[4/3],或x<-2
令f′(x)<0,解得,-2<x<[4/3],
∴函数的增区间为(-∞,-2)和([4/3],+∞)
函数的减区间为(-2,[4/3])
∴当x=-2时,函数有极大值为18,当x=[4/3]时,函数有极小值为-
14
27
又∵f(-3)=12,f(3)=18
∴当x=[4/3]时,函数有最小值-
14
27,当x=-2或3时,函数有最大值18
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题主要考查了导数的应用求函数的单调区间,极值,最值,属于导数的应用.