一条直线斜率为1的直线L与离心率为根3的双曲线 X^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0 b>0)交于P Q 两点,直

1个回答

  • 设直线方程为y=x+t,设P,Q,R三点的坐标分别是(x1,x1+t),(x2,x2+t),(0,t)

    因为双曲线离心率e=c/a=根号3,所以b^2=c^2-a^2=3a^2-a^2=2a^2

    那么双曲线方程可写为 X^2/a^2-y^2/2a^2=1,整理得:2x^2-y^2=2a^2

    将直线L的方程和双曲线方程联解,代入直线方程得 2x^2-(x+t)^2=2a^2

    整理得:x^2-2tx-t^2-2a^2=0

    由韦达定理得,x1+x2=2t①

    因为向量PQ=4倍的向量RQ,则向量PR=3倍向量RQ,由定比分点坐标公式,有

    0=(x1+3x2)/4 ,t=[(x1+t)+3(x2+t)]/4

    化简两个式子均得:x1+3x2=0②

    联解①②两式:得x1=3t,x2=-t,代入P,Q两点坐标中,则

    P,Q两点坐标分别是(3t,4t),(-t,0)

    根据题意,可知Q点应在双曲线右支上,且纵坐标为0,所以Q和点(a,0)重合,a=-t

    向量OP=(3t,4t),向量OQ=(-t,0),由题意,向量OP乘以向量OQ=-3t^2=-3

    所以t=±1,因为a=-t>0,所以t=-1

    那么直线方程为 y=x-1,

    a=-t=1,双曲线方程为 x^2-y^2/2=1