设直线方程为y=x+t,设P,Q,R三点的坐标分别是(x1,x1+t),(x2,x2+t),(0,t)
因为双曲线离心率e=c/a=根号3,所以b^2=c^2-a^2=3a^2-a^2=2a^2
那么双曲线方程可写为 X^2/a^2-y^2/2a^2=1,整理得：2x^2-y^2=2a^2
将直线L的方程和双曲线方程联解,代入直线方程得 2x^2-(x+t)^2=2a^2
整理得：x^2-2tx-t^2-2a^2=0
由韦达定理得,x1+x2=2t①
因为向量PQ=4倍的向量RQ,则向量PR=3倍向量RQ,由定比分点坐标公式,有
0=(x1+3x2)/4 ,t=[(x1+t)+3(x2+t)]/4
化简两个式子均得：x1+3x2=0②
联解①②两式：得x1=3t,x2=-t,代入P,Q两点坐标中,则
P,Q两点坐标分别是(3t,4t),(-t,0)
根据题意,可知Q点应在双曲线右支上,且纵坐标为0,所以Q和点(a,0)重合,a=-t
向量OP=(3t,4t),向量OQ=(-t,0),由题意,向量OP乘以向量OQ=-3t^2=-3
所以t=±1,因为a=-t＞0,所以t=-1
那么直线方程为 y=x-1,
a=-t=1,双曲线方程为 x^2-y^2/2=1