如图,AB是⊙O的直径,过B点作⊙O的切线,交弦AE的延长线于点C,作OD⊥AC,垂足为D,若∠ACB=60°,BC=4

1个回答

  • 解题思路:根据切线性质推出∠ABC=90°,求出∠A=30°,求出AC=2BC,AO=2OD,求出AC,根据勾股定理求出AB,求出OA、OD,根据勾股定理求出AD,根据垂径定理求出AD=DE即可.

    ∵BC切⊙O于B,

    ∴∠ABC=90°,

    ∵∠ACB=60°,

    ∴∠BAC=30°,

    ∴AC=2BC=8,

    由勾股定理得:AB=

    AC2−BC2=4

    3,

    ∴OA=[1/2]AB=2

    3,

    ∵OD⊥AE,

    ∴∠ADO=90°,

    ∴OD=[1/2]OA=

    3,

    在△ADO中,由勾股定理得:AD=3,

    ∵OD⊥AE,OD过圆心O,

    ∴AD=DE=3,(垂径定理)

    故答案为:3.

    点评:

    本题考点: 切线的性质;三角形内角和定理;含30度角的直角三角形;垂径定理.

    考点点评: 本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形性质,圆的切线性质等知识点的运用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,但题型较好.