解题思路：（1）由中位线定理即可求出DF的长；（2）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；（3）①当点P在EF上（267≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；②当点P在FC上（5≤t≤767）时，PB=PF+BF就可以得到；（4）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．
（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF=[1/2]AB=25
故答案为：25．
（2）能．
如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=[QH+HB/4]=[12.5+16/4＝7
1
8]．
（3）①当点P在EF上（2[6/7]≤t≤5）时，
如图2，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得[7t−20/50＝
25−4t
30]．
∴t=4[21/41]；
②当点P在FC上（5≤t≤7[6/7]）时，
如图3，已知QB=4t，从而PB=[QB/cos∠B]=[4t
4/5]=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7[1/2]；
（4）如图4，t=1[2/3]；如图5，t=7[39/43]．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2[6/7]时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，
如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7[6/7]当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在
7[6/7]＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．
考点点评： 本题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．