Question

设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)为偶函数,且x∈[-3,0]时,f(x)=x^2,则f(2012)的值为

Answer 1

由题知：奇函数f(x)满足f(x+3)为偶函数

因为：f(x+3)为偶函数

则：f(x+3)=f(-x+3)

又因为：f(x)为奇函数

则：f(-x+3)=-f(x-3)=-f[(x-6)+3]=-f[-(x-6)+3]=-f(-x+9)=f(x-9)=f[(x-12)+3]=f[(12-x)+3]=f(-x+15)

由f(-x+3)=f(-x+15)可知：

f(x)的周期为12

因此：f(2012)=f(12*167+8)=f(8)=f(5+3)=f(-5+3)=f(-2)

因为：x∈[-3,0]时,f(x)=x^2

所以：f(-2)=4

得：f(2012)=4