Question

（2014•新疆一模）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AD=A1A=[1/2]A

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连结AD₁，由已知条件推导出AD₁⊥A₁D，A₁D⊥D₁E，从而得到A₁D⊥平面AED₁，由此能够证明A₁D⊥AF．

（Ⅱ）分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D₁EC的距离．

（Ⅰ）证明：连结AD₁，由已知得AA₁D₁D是下方形，

∴AD₁⊥A₁D，

∵A₁D⊥D₁E，AD₁∩D₁E=D₁，

∴A₁D⊥平面AED₁，

∵AF⊂平面AED₁，

∴A₁D⊥AF．

（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知，底面ABCD为矩形，

分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

由题意知

m=（0，0，1）为平面DEC的法向量，

设

n=（x，y，z）为平面CED₁的法向量，

∵二面角D₁-EC-D的大小为45°，

∴|cos＜

m，

n＞|=

|z|

x2+y2+z2=cos45°=

2

2，

∴z²=x²+y²，①

∵AD=1，∴D1 （0，9，1），C（0，2，0），∴

D1C＝(0，2，−1)，

∵

n⊥

D1C，∴2y-z=0，②

由①②可取

n=（

3，1，2），

又

CB＝(1，0，0)，

∴点B到平面D₁EC的距离d=

|

CB•

n|

|

n|=

3

2

2=

6

4．

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．