Question

已知数列｛an｝中,a1＝2,an＋1＝an＋cn（c是不为0的常数,n∈N*）,a1,a2,a3成等比数列,求｛an｝

Answer 1

∵an+1＝an＋cn ∴an+1－an＝cn

∴an－an-1＝c(n－1)

an-1－an-2＝c(n－2)

…

a2－a1＝c×1

上述各式相加得：an－a1＝cn(n－1)/2

∴a2－a1＝c a3－a1＝3c ∴a2＝c＋2 a3＝3c＋2

∵a1,a2,a3成等比数列 ∴a2²＝a1·a3 ∴(c＋2)²＝2(3c＋2)

∴c(c－2)＝0 ∵c≠0 ∴c＝2

∴an＝2＋n(n－1)

bn＝n×c(an－c)/n²＝2(an－2)/n＝2(n－1)

∴Tn＝n(b1＋bn)/2＝n×[0＋2(n－1)]/2＝n²－n