Question

如果σ,τ分别是M到M',M'到M''的双射,那么乘积τσ就是M到M''的一个双射.

Answer 1

对M''中任一元素 x''

由于 τ 是双射, 所以存在 M' 中元素 x' 使得 τ(x') = x''

由于 σ 是双射, 所以存在 M 中元素 x 使得 σ(x) = x'

即有 τσ(x) = x''

所以 τσ 是满射.

若 τσ(x)=τσ(y)

则 τ(σ(x)) = τ(σ(y))

由 τ 是单射得 σ(x) = σ(y)

再由 σ 是单射得 x=y.

所以 τσ 是单射.

综上知 τσ 是 双射.