Question

在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,P,Q是斜边AB上的任意两点,且∠PCQ=45°,求证PQ^2=AP^2+BQ^2

Answer 1

∵△ABC是等腰直角三角形

∴∠B=∠ACB=45°

将△BCQ绕C旋转到BC和AC重合,得△ACE≌△BCQ,连接EP

∴CQ=CE

BQ=AE

∠B=∠CAE=45°

∠BCQ=∠ACE

∵∠BCQ+∠ACP=90°-∠PCQ=45°

∴∠ACE+∠ACP=∠ECP=45°

∴∠ECQ=∠PCQ

∵CQ=CE,CP=CP

∴△PCQ≌△PCE

∴PQ=EP

∵∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°

∴EP²=AP²+AE²

∴PQ²=AP²+BQ²