由f(2-x)=f(x)知f(x)的图像关于直线x=1对称,下面证明f(x)是一个周期函数,
由f(x)是R上的奇函数知f(2-x)=-f(x-2),f(x-4)=-f(4-x)
在f(2-x)=f(x)中,以x-2代x得f(2-(x-2))=f(x-2)即f(4-x)=f(x-2),
所以f(x)=f(2-x)=-f(4-x)=f(x-4)即f(x+4)=f(x),也就是说f(x)是以4为周期的周期函数.
考虑f(x)的一个周期,例如[-1,3],由f(x)在[0,1)上是减函数知f(x)在(1,2]上是增函数,
f(x)在(-1,0]上是减函数,f(x)在[2,3)上是增函数.
对于奇函数f(x)有f(0)=0,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,
故当x∈(0,1)时,f(x)f(2)=0,
方程f(x)=-1在[0,1)(实际就是(0,1))上有实数根,
则这实数根是唯一的,因为f(x)在(0,1)上是单调函数
则由于f(2-x)=f(x),故方程f(x)=-1在(1,2)上有唯一实数根.
在(-1,0)和(2,3)上f(x)>0,则方程f(x)=-1在(-1,0)和(2,3)上没有实数根.
从而方程f(x)=-1在一个周期内有且仅有两个实数根.
当x∈[-1,3],方程f(x)=-1的两实数根之和为x+2-x=2,
当x∈[-1,7],方程f(x)=-1的所有四个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12,
一般地,当x∈[-1,4n-1],n∈N*,方程f(x)=-1的所有实数根之和为=2+8+2+8*2+2+8*3+2+…+8*(n-1)+2=2n+8*(1+2+3+…+n-1)=2n+8*n*(n-1)/2=2n+4n²-4n=4n²-2n.
有不明白的地方可以追问,我可以给你详细说明.