过抛物线x^2=y上两点M,N的直线l交y轴于点P(0,b).若∠MON是钝角(O为坐标原点),求实数b的取值范围

4个回答

  • 令直线斜率为k,因为直线过P(0,b),∴直线方程y=kx+b

    直线与抛物线交于M、N,令M(x1,y1),N(x2,y2)

    将y=kx+b代入x^2=y:

    x^2-kx-b=0

    根据韦达定理:x1+x2=k,x1x2=-b

    ∠MON是钝角,∴MN^2>OM^2+ON^2

    (x2-x1)^2+(y2-y1)^2 > (x1^2+y1^2) + (x2^2+y2^2)

    -2x1x2-2y1y2>0

    x1x2+y1y2<0

    又:y1=x1^2,y2=x2^2

    x1x2+(x1x2)^2<0

    -b+b^2<0

    b(b-1)<0

    抛物线在x轴上方,∴MN在x轴上方

    b=(y1+y2)/2>0

    ∴b-1<0

    ∴0<b<1