Question

已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且离心率为2；

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设出双曲线方程，且c=2，再由离心率公式可得a=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到双曲线的方程；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用点差法，求出直线AB的斜率，进而得到AB的方程，再联立双曲线方程，运用判别式检验即可．

（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a2−

y2

b2=1（a＞0，b＞0），且c=2，

由于离心率为2，即[c/a]=2，即a=1，

b=

c2−a2=

3，

则双曲线方程为x²-

y2

3=1；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x12−

y12

3=1，x22−

y22

3=1．两式相减得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=[1/3]（y₁-y₂）（y₁+y₂），

由于M为AB的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，

得直线AB的斜率k_AB=

y1−y2

x1−x2=1，

∴直线l的方程为y-3=x-1即y=x+2，代入方程x²-

y2

3=1，

得2x²-4x-7=0，△=4²-4×2×（-7）=72＞0，

故所求的直线方程为y=x+2．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查点差法求弦中点的问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．