Question

向量组的线性表示设向量组α1=(-1,4,1),α2=(-2,5,1),α3=(a,10,2),β=(1,c,b).当a

Answer 1

-1 -2 a 1

4 5 10 c

1 1 2 b

r1+r3,r2-4r3

0 -1 a+2 b+1

0 1 2 c-4b

1 1 2 b

r1+r2

0 0 a+4 c-3b+1

0 1 2 c-4b

1 1 2 b

r1r3

1 1 2 b

0 1 2 c-4b

0 0 a+4 c-3b+1

所以有:

当 a≠-4 时,方程组有唯一解 (此时系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3)

对应β可由α1,α2,α3唯一线性表示.

当 a=-4,c-3b+1≠0 时,方程组无解 (此时 r(A)=2,增广矩阵的秩=3)

对应β不能由α1,α2,α3线性表示.

当 a=-4,c-3b+1=0 时,方程组无穷多解 (此时 r(A)=2=增广矩阵的秩