1．设一次函数f(x)=kx+b,(k≠0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k²x+b(k+1),
由题意,k²x+b(k+1)=1+2x,
∴k²=2且b(k+1)=1,
得,k=√2,b=√2-1,或k= -√2,b= -√2-1,
f(x)= √2x+(√2-1),或f(x)= -√2x-(√2+1).
2．∵二次函数f(x)=ax²+bx,(a≠0)满足f(x-1)=f(3-x),
∴f(x)的图象的对称轴x= -b/(2a)=1,即b= -2a①；
又方程f(x)=2x有等根,
∴ax²+bx=2x中,判别式(b-2 )² =0②,
由①②可得,a= -1,b=2,
∴f(x)= -x²+2x.